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1
p. 87-92
LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
Début :
Monsieur, j'avois décidé avec moi-même de faire un divorce irréconciliable [...]
Mots clefs :
Algèbre, Géométrie, Science de la guerre, Madame la Dauphine, Problème d'algèbre, Guerre
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texteReconnaissance textuelle : LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
LETTRE à M ..... Profeſſeur & Cenfeur
royal , par M. G. Ecuyer , Officier
de la chambre de Madame la Dauphine
, fur un problême d'algebre appliqué
à la fcience de la guerre .
Onfieur , j'avois décidé avec moi-
Mmême de faire un divorce irréconciliable
avec l'Algebre & la Géométrie :
la néceffité de faire valoir mon bien de
campagne , celle de fuivre plufieurs procès
de fucceffion , mon peu de fanté , &
par conféquent le peu d'efpérance d'y acquerir
une forte de célébrité , m'avoient
fait prendre un parti fi contraire à mon
goût . J'eus l'honneur cet automne &
en même tems le vrai bonheur d'être admis
à faire ma cour à des perfonnes de
qualité de mon voifinage ; j'y retrouvai
des compas , des équerres , des niveaux ,
des graphometres , des cartes topographi
,
38 MERCURE DE FRANCE .
ques , des plans de bataille , de fiége , de
marches militaires , des projets de campa
gne , &c. en un mot tout ce qui caractériſe
un ſyſtème de travail ferieux , fuivi ,
& propre à des perfonnes deftinées par leur
naiffance & leurs talens héréditaires &
perfonnels , aux premiers emplois de la
guerre en falloit- il davantage pour me
rappeller à mes premieres foibleffes : On
me propofa de réfoudre le problême d'algebre
dont je vous fais aujoud'hui la dédicace
; nouvelles chaînes , nouveau motif
d'ardeur & d'émulation , & voilà l'époque
glorieufe pour moi de mon retour à
la géométrie. Je vis dans cette refpectable
maifon , avec un plaifir bien fenfible
& bien délicat , des enfans à peine de fept
ou huit ans , tracer des lignes & des angles
, reconnoître leurs rapports & leurs
combinaiſons , manier des inftrumens de
Mathématique je fus enchanté de n'entendre
fortir de leur bouche que les termes
de fervice du Roi , de la haine de
fes ennemis , de l'honneur , de la bravoure
, & de la néceffité d'acquerir les talens
du coeur & de l'efprit , indifpenfables pour
commander les autres ; on me pardonnera
cette forte d'indifcrétion , j'y vis avec la
plus vive furpriſe , & comme une efpéce
de paradoxe , les dames , fans perdre la
MA 1. 1755. 89 ·
plus légere de leurs graces , ni de ce tour
délicat & ingénieux de la converſation
que donne l'ufage du grand monde ; les
dames , dis- je , paffer avec fuccès , de la
poëfie , de la mufique , de l'hiftoire , ou
des ouvrages de goût & de légereté , à calculer
, à réfoudre des problèmes de Géométrie
& d'Algebre.
Enfin j'y vis les terres & les arbres
cultivés fuivant les principes de M M.
Sthul , Duhamel , de Buffon ; les abeilles
& les vers à foie élevés fuivant les regles
de M. de Réaumur ; la pratique de l'éducation
fauvage des beftiaux , en un mot
plufieurs de ces arts champêtres innocens ,
utiles à la fociété , à la fanté , à la confervation
de fon bien , & dont les héros rendus
à la paix ne rougiffoient point autrefois.
Tout refpiroit dans cette belle & délicieuſe
campagne l'efprit de calcul & de
fyftême , & ces principes folides de la
raifon fupérieure de l'illuftre M. de P. auffi
grand à la guerre que férieux & appliqué
chez lui , d'où il avoit banni cette frivo-.
lité qui ne gagne que trop aujourd'hui .
Les bornes d'une lettre femblent contraindre
de fi juftes motifs d'éloges ; mais la
vertu & le vrai mérite font fi peu communs
qu'on n'en reconnoît les traces qu'avec
un fecret & délicieux enchantement ;
90 MERCURE DE FRANCE.
ces motifs ne font pas néanmoins étrangers
à l'objet de ma lettre , puifqu'il vous
entretiennent d'application de calcul aux
affaires de la vie ; méthode que vous eftimez
. avec raiſon , bien fupérieure à celle
qui ne traite que des x & des y , & dont
vous ne ceſſez de recommander l'uſage à
vos difciples après qu'ils fe font mis en
poffeffion de cette derniere .
?
&
Parlons maintenant de mon problême ,
qui eft , je penſe , un des plus forts qu'on
puiffe propofer en Algebre indéterminée du
premier dégré ; j'ai pris à tâche de réunir
toutes les méthodes de Diophante , de Bachet
, du P. Prefter , & d'autres. Il contient ,
proprement parler , huit problêmes différens
; ce n'eft que la quatrieme condition
qui lie les trois précédentes , comme vous
le verrez dans la premierepréparation
qui les rappelle à une expreffion où les inconnues
font égalées à des quantités connues
mêlées avec deux indéterminées . Les
fept & huitiémes conditions font deux.
problêmes nouveaux , qu'on peut encore
réfoudre féparément des premiers ; mais
comme ils font une efpéce d'hiftoire fuivie
, il faut trouver l'art de les lier avec
la deuxième préparation il y a encore
un choix délicat à faire dans les rapports
des pertes ou des foldats défaits de chaM
A I.
1755 . 91
que
détachement , car fi on ne les tire
point de la nature intrinfeque du problême
, on ne fera rien qui vaille , on aura
bien des folutions vraies , mais qui feront
à d'autres queftions. Il eft inexprimable
combien j'ai gâté de papier , & combien
il m'en a coûté de peines pour fixer ces
rapports , fans compter les fautes d'étourderie
& les erreurs des fignes . Je joins à ma
lettre le mis au net de mes calculs , qui contiennent
cinq ou fix feuillets , fans aucun
détail de divifion ou de multiplication.
C'eſt un hommage que je vous adreffe ,
un tribut , le paiement d'une dette , car
affurément je vous dois beaucoup ; c'eft
en un fens votre bien , votre ouvrage ,
puifqu'il eft bâti des matériaux recueillis
fous vous au Collège royal ; c'eft le fruit
du long loifir que me laiffe mon fervice ,
& duquel je ne crois pas devoir faire un
meilleur ufage , les devoirs de la fociété
remplis , pour mériter l'honneur de votre
eftime , & le nom de &c.
Les nombres les plus fimples qui fatisfont
à toutes les conditions du problê
me , font : 551 , 431 , 311 .
All x 8400 μss!?
J : 64052 + 431
4410
➡0.1.2.3.4.5. &cj
311
92 MERCURE DE FRANCE.
1 ° . Effectivement le tiers de 551 eſt
1832, le quart de 551 eft 135 +3 .
e
2°. Le 5º de 431 eft 86 + 1 , & le 7º
de 431 eft 614.
3 °. Le 7° de 311 eft 44 + 3 , & le 9º
de 311 eft 34 + 4.
4°. 551 + 311 = 2 × 431 = 862.
50. 551 +9 , 43x + +2 , 431 +4 :: 140. 61 .
7
60 551 +9 311 ·
'SI.
140.102
:: 50 :
C. Q.F. F. & D.
A Versailles , ce 10 Avril 1755 .
royal , par M. G. Ecuyer , Officier
de la chambre de Madame la Dauphine
, fur un problême d'algebre appliqué
à la fcience de la guerre .
Onfieur , j'avois décidé avec moi-
Mmême de faire un divorce irréconciliable
avec l'Algebre & la Géométrie :
la néceffité de faire valoir mon bien de
campagne , celle de fuivre plufieurs procès
de fucceffion , mon peu de fanté , &
par conféquent le peu d'efpérance d'y acquerir
une forte de célébrité , m'avoient
fait prendre un parti fi contraire à mon
goût . J'eus l'honneur cet automne &
en même tems le vrai bonheur d'être admis
à faire ma cour à des perfonnes de
qualité de mon voifinage ; j'y retrouvai
des compas , des équerres , des niveaux ,
des graphometres , des cartes topographi
,
38 MERCURE DE FRANCE .
ques , des plans de bataille , de fiége , de
marches militaires , des projets de campa
gne , &c. en un mot tout ce qui caractériſe
un ſyſtème de travail ferieux , fuivi ,
& propre à des perfonnes deftinées par leur
naiffance & leurs talens héréditaires &
perfonnels , aux premiers emplois de la
guerre en falloit- il davantage pour me
rappeller à mes premieres foibleffes : On
me propofa de réfoudre le problême d'algebre
dont je vous fais aujoud'hui la dédicace
; nouvelles chaînes , nouveau motif
d'ardeur & d'émulation , & voilà l'époque
glorieufe pour moi de mon retour à
la géométrie. Je vis dans cette refpectable
maifon , avec un plaifir bien fenfible
& bien délicat , des enfans à peine de fept
ou huit ans , tracer des lignes & des angles
, reconnoître leurs rapports & leurs
combinaiſons , manier des inftrumens de
Mathématique je fus enchanté de n'entendre
fortir de leur bouche que les termes
de fervice du Roi , de la haine de
fes ennemis , de l'honneur , de la bravoure
, & de la néceffité d'acquerir les talens
du coeur & de l'efprit , indifpenfables pour
commander les autres ; on me pardonnera
cette forte d'indifcrétion , j'y vis avec la
plus vive furpriſe , & comme une efpéce
de paradoxe , les dames , fans perdre la
MA 1. 1755. 89 ·
plus légere de leurs graces , ni de ce tour
délicat & ingénieux de la converſation
que donne l'ufage du grand monde ; les
dames , dis- je , paffer avec fuccès , de la
poëfie , de la mufique , de l'hiftoire , ou
des ouvrages de goût & de légereté , à calculer
, à réfoudre des problèmes de Géométrie
& d'Algebre.
Enfin j'y vis les terres & les arbres
cultivés fuivant les principes de M M.
Sthul , Duhamel , de Buffon ; les abeilles
& les vers à foie élevés fuivant les regles
de M. de Réaumur ; la pratique de l'éducation
fauvage des beftiaux , en un mot
plufieurs de ces arts champêtres innocens ,
utiles à la fociété , à la fanté , à la confervation
de fon bien , & dont les héros rendus
à la paix ne rougiffoient point autrefois.
Tout refpiroit dans cette belle & délicieuſe
campagne l'efprit de calcul & de
fyftême , & ces principes folides de la
raifon fupérieure de l'illuftre M. de P. auffi
grand à la guerre que férieux & appliqué
chez lui , d'où il avoit banni cette frivo-.
lité qui ne gagne que trop aujourd'hui .
Les bornes d'une lettre femblent contraindre
de fi juftes motifs d'éloges ; mais la
vertu & le vrai mérite font fi peu communs
qu'on n'en reconnoît les traces qu'avec
un fecret & délicieux enchantement ;
90 MERCURE DE FRANCE.
ces motifs ne font pas néanmoins étrangers
à l'objet de ma lettre , puifqu'il vous
entretiennent d'application de calcul aux
affaires de la vie ; méthode que vous eftimez
. avec raiſon , bien fupérieure à celle
qui ne traite que des x & des y , & dont
vous ne ceſſez de recommander l'uſage à
vos difciples après qu'ils fe font mis en
poffeffion de cette derniere .
?
&
Parlons maintenant de mon problême ,
qui eft , je penſe , un des plus forts qu'on
puiffe propofer en Algebre indéterminée du
premier dégré ; j'ai pris à tâche de réunir
toutes les méthodes de Diophante , de Bachet
, du P. Prefter , & d'autres. Il contient ,
proprement parler , huit problêmes différens
; ce n'eft que la quatrieme condition
qui lie les trois précédentes , comme vous
le verrez dans la premierepréparation
qui les rappelle à une expreffion où les inconnues
font égalées à des quantités connues
mêlées avec deux indéterminées . Les
fept & huitiémes conditions font deux.
problêmes nouveaux , qu'on peut encore
réfoudre féparément des premiers ; mais
comme ils font une efpéce d'hiftoire fuivie
, il faut trouver l'art de les lier avec
la deuxième préparation il y a encore
un choix délicat à faire dans les rapports
des pertes ou des foldats défaits de chaM
A I.
1755 . 91
que
détachement , car fi on ne les tire
point de la nature intrinfeque du problême
, on ne fera rien qui vaille , on aura
bien des folutions vraies , mais qui feront
à d'autres queftions. Il eft inexprimable
combien j'ai gâté de papier , & combien
il m'en a coûté de peines pour fixer ces
rapports , fans compter les fautes d'étourderie
& les erreurs des fignes . Je joins à ma
lettre le mis au net de mes calculs , qui contiennent
cinq ou fix feuillets , fans aucun
détail de divifion ou de multiplication.
C'eſt un hommage que je vous adreffe ,
un tribut , le paiement d'une dette , car
affurément je vous dois beaucoup ; c'eft
en un fens votre bien , votre ouvrage ,
puifqu'il eft bâti des matériaux recueillis
fous vous au Collège royal ; c'eft le fruit
du long loifir que me laiffe mon fervice ,
& duquel je ne crois pas devoir faire un
meilleur ufage , les devoirs de la fociété
remplis , pour mériter l'honneur de votre
eftime , & le nom de &c.
Les nombres les plus fimples qui fatisfont
à toutes les conditions du problê
me , font : 551 , 431 , 311 .
All x 8400 μss!?
J : 64052 + 431
4410
➡0.1.2.3.4.5. &cj
311
92 MERCURE DE FRANCE.
1 ° . Effectivement le tiers de 551 eſt
1832, le quart de 551 eft 135 +3 .
e
2°. Le 5º de 431 eft 86 + 1 , & le 7º
de 431 eft 614.
3 °. Le 7° de 311 eft 44 + 3 , & le 9º
de 311 eft 34 + 4.
4°. 551 + 311 = 2 × 431 = 862.
50. 551 +9 , 43x + +2 , 431 +4 :: 140. 61 .
7
60 551 +9 311 ·
'SI.
140.102
:: 50 :
C. Q.F. F. & D.
A Versailles , ce 10 Avril 1755 .
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Résumé : LETTRE à M..... Professeur & Censeur royal, par M. G. Ecuyer, Officier de la chambre de Madame la Dauphine, sur un problême d'algebre appliqué à la science de la guerre.
La lettre est adressée à un professeur et censeur royal par M. G., écuyer et officier de la chambre de Madame la Dauphine. L'auteur avait initialement abandonné l'algèbre et la géométrie en raison de ses obligations personnelles et de son manque de temps. Cependant, lors d'une visite chez des personnes de qualité, il a été inspiré par l'environnement mathématique et militaire qu'il y a trouvé. Il a été invité à résoudre un problème d'algèbre appliqué à la science de la guerre, ce qui l'a ramené à ses premières passions. Dans cette maison, il a observé des enfants et des dames s'adonnant aux mathématiques avec succès, tout en cultivant des terres et élevant des animaux selon des principes scientifiques. L'auteur a été impressionné par l'esprit de calcul et de système qui y régnait, ainsi que par les principes solides de la raison supérieure. L'auteur décrit ensuite le problème d'algèbre qu'il a résolu, un problème complexe d'algèbre indéterminée du premier degré, réunissant diverses méthodes. Il mentionne les difficultés rencontrées et les erreurs commises lors de la résolution. Il joint à sa lettre le résultat de ses calculs, qu'il considère comme un hommage au professeur. Les nombres les plus simples satisfaisant aux conditions du problème sont 551, 431 et 311. L'auteur fournit également des détails sur les calculs effectués pour vérifier ces solutions. La lettre est datée du 10 avril 1755.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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2
p. 92-94
Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Début :
On envoie trois détachemens pour s'emparer de trois postes différens. [...]
Mots clefs :
Science de la guerre, Algèbre, Problème d'algèbre
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texteReconnaissance textuelle : Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Problême d'Algebre très- intéreſſant appliqué
à la fcience de la guerre.
ON envoie trois détachemens pour
s'emparer de trois poftes différens.
1º. L'on fcait que lorfqu'on rangeoit le
premier détachement fur trois foldats de
hauteur , il y en avoit deux de rcſte ; &
lorfqu'on les rangeoit fur quatre de hauteur
, il en reftoit trois .
2°. A l'égard du fecond détachement
M A. I. 1755. 23
lorfqu'on plaçoit les hommes à cinq de
hauteur , il y en avoit un de refte , &
lorfqu'on les rangeoit fur fept , il en reftoit
quatre.
3°. Le troifiéme détachement étoit tel
que les foldats rangés fur trois de hauteur
, il en reftoit trois ; & rangés fur
neuf, il en reſtoit cinq.
4°. Le nombre des troupes du premier
& du troifiéme détachement jointes enfemble
, étoit double de celui du deuxiéme
.
5°. Le Général envoie des ordres à
quatre Officiers de mérite du fecond détachement
, & à cinq du troifiéme , de
joindre le premier détachement.
6°. Après cet ordre exécuté , le premier
poſte coûta à emporter le quart du monde
qui y étoit deſtiné.
7°. Il périt au fecond pofte le feptiéme
des troupes qu'on y avoit envoyées , lequel
montoit à neuf hommes de moins
que la moitié des foldats tués au premier
pofte ; c'est- à-dire que le rapport des trou
pes défaites au premier pofte , étoit à celui
des troupes défaites au fecond , comme
140 eft à 61 .
8. L'on perdit , pour emporter le troifiéme
pofte , le tiers des troupes qui y
étoient commandées , & cette perte étoit
94 MERCURE DE FRANCE.
relativement à celle qu'on fit au premier
pofte , comme 51 eft à 70.1
9°. L'on demande de combien d'hommes
chaque détachement étoit compofé ?
On donnera dans le Mercure du mois.
prochain la méthode de la folution .
à la fcience de la guerre.
ON envoie trois détachemens pour
s'emparer de trois poftes différens.
1º. L'on fcait que lorfqu'on rangeoit le
premier détachement fur trois foldats de
hauteur , il y en avoit deux de rcſte ; &
lorfqu'on les rangeoit fur quatre de hauteur
, il en reftoit trois .
2°. A l'égard du fecond détachement
M A. I. 1755. 23
lorfqu'on plaçoit les hommes à cinq de
hauteur , il y en avoit un de refte , &
lorfqu'on les rangeoit fur fept , il en reftoit
quatre.
3°. Le troifiéme détachement étoit tel
que les foldats rangés fur trois de hauteur
, il en reftoit trois ; & rangés fur
neuf, il en reſtoit cinq.
4°. Le nombre des troupes du premier
& du troifiéme détachement jointes enfemble
, étoit double de celui du deuxiéme
.
5°. Le Général envoie des ordres à
quatre Officiers de mérite du fecond détachement
, & à cinq du troifiéme , de
joindre le premier détachement.
6°. Après cet ordre exécuté , le premier
poſte coûta à emporter le quart du monde
qui y étoit deſtiné.
7°. Il périt au fecond pofte le feptiéme
des troupes qu'on y avoit envoyées , lequel
montoit à neuf hommes de moins
que la moitié des foldats tués au premier
pofte ; c'est- à-dire que le rapport des trou
pes défaites au premier pofte , étoit à celui
des troupes défaites au fecond , comme
140 eft à 61 .
8. L'on perdit , pour emporter le troifiéme
pofte , le tiers des troupes qui y
étoient commandées , & cette perte étoit
94 MERCURE DE FRANCE.
relativement à celle qu'on fit au premier
pofte , comme 51 eft à 70.1
9°. L'on demande de combien d'hommes
chaque détachement étoit compofé ?
On donnera dans le Mercure du mois.
prochain la méthode de la folution .
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Résumé : Problême d'Algebre très-intéressant appliqué à la science de la guerre.
Le texte expose un problème d'algèbre appliqué à la science de la guerre, impliquant trois détachements envoyés pour s'emparer de trois postes différents. Les conditions spécifiques pour chaque détachement sont les suivantes : le premier détachement laisse un reste de deux lorsqu'il est rangé par trois et un reste de trois lorsqu'il est rangé par quatre. Le second détachement laisse un reste de un lorsqu'il est rangé par cinq et un reste de quatre lorsqu'il est rangé par sept. Le troisième détachement laisse un reste de trois lorsqu'il est rangé par trois et un reste de cinq lorsqu'il est rangé par neuf. Le nombre total de troupes du premier et du troisième détachement combinés est double de celui du second détachement. Quatre officiers du second détachement et cinq du troisième rejoignent le premier détachement. Après cette réorganisation, le premier poste coûte un quart des troupes destinées à l'emporter. Au second poste, un septième des troupes envoyées périssent, soit neuf hommes de moins que la moitié des soldats tués au premier poste. Le rapport des troupes défaites au premier poste à celles du second est de 140 à 61. Pour le troisième poste, un tiers des troupes commandées périssent, et cette perte est proportionnelle à celle du premier poste dans un rapport de 51 à 70. Le texte demande de déterminer le nombre d'hommes composant chaque détachement.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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3
p. 88-95
Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Début :
Il est juste de remplir ses engagemens, l'honneur nous y oblige. Tout l'art de la [...]
Mots clefs :
Problème d'algèbre, Science de la guerre, Professeur royal, Société littéraire de Senlis
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texteReconnaissance textuelle : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Méthode de folution du problême d'algébre
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
appliqué à la fcience de la guerre , annons
cé dans le Mercure de Mai 1755 , page
87 , à M. de M. Cenfeur & Profeffeur
royal; par M. G. Ecuyer , Officier de Madame
la Dauphine , & de la Société Liti
téraire de Senlis.
It our oblige. Tout
y
dela
Left jufte de remplir fes engagemens ,
méthode de folution du problême confifte à
fuppofer , felon la magie ordinaire de l'al
gébre , des quotiens fictifs qui fe terminent
finalement à un quotient exact & réel , lequel
devient , malgré fon indétermination,
la commune mefure , le lieu commun , l'expreffion
des relations mutuelles des incon →
véniens qui entrent dans la queftion.
La premiere condition du problême eft
telle : lorfqu'on rangeoit les foldats du premier
détachement fur trois de hauteur , il
y en avoit deux de refte , & lorfqu'on les
rangeoit fur quatre , il en reftoit trois.
Cette condition & les deux fuivantes
prifes dans un point de vue , pour ainfi
dire ifolé , contiennent en elles - mêmes
des problêmes parfaitement diftincts . On
verra qu'ils n'acquerront de liaifon entre
JUIN. 1755 . 89
eux que par la quatrieme condition. Soir
donc nommé x le premier détachement , a
le nombre des compres par 3 , & b celui
des comptes par 4 , l'on aura x =
3 a +
2 = 46 + 3 ; donc 3 a 4 b + 1 ;
bt
b ++ : foit fuppofe
3
=
3
donc b + 1 = 30 , b = 30
--
.1; donc
b + 3 = x = 120—4 + 3 = 120 —
- 1 ; ci pour mémoire , x = 12 c Par
la feconde condition , lorfqu'on rangeoit
les troupes du fecond détachement fur
de hauteur , il en reftoit un ; & lorsqu'on
les rangeoit fur 7 , il en reftoit 4. Soit donc
nommé y ce fecond détachement , d les
comptes par 5 , & e ceux des comptes par
7 ; donc y = 5 d + 1 = 7e + 4 ; 5 d
= 7e + 3 ; d = e + 2 +3 foit
: conçu
e
5
2º+3 =ƒf;; donc 2e +3 = 5 ƒ» 2 0
f-
= sf − 336 = 2f + 3 , concevant
f
21
ƒ——g ; doncƒ— 3 — 28 ; f= 28+3 ;
2f486 ; donce = 48+ 6 + g
= 5 g + 6; donc 7 e +4 ou y = 358 +42
2
+ 4 = 358 + 358 + 46 ; ci pour mémoire , y
=35g8 +46.
Dans la troifieme condition il eft dit ,
que lorfqu'on rangeoit les foldats du troi90
MERCURE DE FRANCE.
fieme détachement fur 7 de hauteur , il y
en avoit 3 de refte ; & lorfqu'on les rangeoit
fur 9 , il en reftoit 5. Soit nommé z
ce troifieme détachement , b les comptes
par 7 , & k ceux par 9 , l'on aura 76
+ 3 = 9k + 5 ; donc b = b = k+
2k+2
ſuppoſant
2 +1 = 1 ; donc 2k + 2 =
7
-
2
71,2 k = 71—2k = 3 1+ ²² fai-
2
2
fant = m ; donc / = 2 m + 2 , & par
conféquent k = 6m +m + 6 = 7m+ 6;
donc 9k + 5 ou 2 = 9 × 7m + 6+ 5=
63m + 59.
2 = 63m + 59
y = 35 g +46
x= 12C -- I
L'on a donc les valeurs des trois inconnues
exprimées par trois indéterminées
différentes , & qui en font trois problêmes
parfaitement diftincts ; effectivement 10.
douze comptes par trois moins l'unité, égalent
onze comptes par trois , & deux de
refte ; douze comptes par quatre moins l'unité
, font égaux à onze comptes par quatre
, plus 3 de refte.
2º. On a 7 g comptes pars plus 9 comptes
par 5 ( 45 ) & l'unité de refte , & is ,
comptes par 7 , plus 6 comptespar 7 , & 4
de refte.
JUIN. 1755.
3°. L'on a 9 m × 7 ou 63 comptes par 7,
plus 8 comptes par 7 ( 56 ) & 3 de refte ;
enfin l'on a 7 m × 9 ou 63 comptes par 9 ,
plus 6 comptes par 9 5 & 5 de refte. C.q.
f. d. 1°.
Telle eft la quatrieme condition ; les
trois détachemens étoient en proportion
arithmétique continue , ou le premier détachement
joint au troifieme étoit double
du fecond , ce qui donne
2 × 358 + 46 = 70 g + 92 = 12 G
→ 1 + 63m + 59 , d'où l'on tire 126
=70g — 63 m + 3 4 ; c = 5. g → sm
+ 2 + 10g 3 m + 10 , fuppofant
-
108 = 3m + 10
12
-
*
12
f
= u ; donc 10 g + 10
3 m = 12 u ; 10 g = 122 — 10+
น
3 mg = u ~ 1 + 3 m + 2 ; 3 m + 2 u
-
" 10
I
IO
p ; donc 2 + 3 m = 10 p ; 2 u = 10p
— 3 m , u = 5 pm - m , foitm =
q;
donc m = 2q ; fubftituant par tout en
retrogradant cette valeur de m , l'on aura
= SP - 39.
8 = 5p - 39-1 + 6 + 101 - 6
-
ΙΟ
u
= 6 p — 3 q — i ; donc 358+ 46 ouy
39
92 MERCURE DE FRANCE.
= 35 × 6p - 3 9-146210p
-105 q-+ u.
120- I ou x 420p
& x =1269+ 59 , & les réuniffant l'on a
—
--
336 - 37,
qui rempliffent
les
4 premiex
= 420p 3369 37
y = 210 p
2 =
105 9 + 11
+1269+ Se
res conditions.
-
Effectivement 1 ° , l'on a 140 px 3+
1129 × 3-12 x 31 Ou11 × 3 + 2
& п05p4 84 9 × 4 — 9 × 4 - 1 Oll
- 8 × 4 + 3 .
{ 2 °. L'on a 42 px S
>
- OÙ
·-21.9x5 + 2
- * 5 + 1 & 3 0 p × 7 1 5 9 × 7 + 7
+4.
3 °. 189 × 7 + 8 × 7 + 3 , & 149
9 +6 × 9 + 5 .
420p
-
4°. Enfin 420 p = 336 937 +126
a + 49
2109 +22 2
x2100-1059 +11 . C. q. f. 2 ° . d.
Par la fixieme condition on perdit le
quart du premier détachement augmenté
de neuf hommes ; par la feptieme on perdit
le feptieme des troupes du fecond détachement
diminué de quatre hommes ;
& par la huitieme on perdit le tiers des
troupes du troifieme détachement diminué
de cinq hommes. La perte du premier pofte
étoit à celle du fecond comme 140 à
JUIN. 1755.
93
61 , & la perte du premier pofte à celle du
troifieme , comme 70 à 51. L'on fera donc
pour remplir les feptieme & huitieme conditions
, cette analogie , qui va réduire les
deux indéterminées p & gà une feule ».
x +23-4420p - 3369-28.
140.61 :: ::
-
4. 7
310 p = 105 9 +7 , d'où l'on tire 61 *
7
420p 33 9 -28
4
140 x 210 p 1059+ 7,
7
-129
I
ou 61 × 7 * 4 * ISP ::
30P - 159 + 1 x 20 x 7 , ou 915p +
7329-61600p — 3009 + 20 , ou
315 p = 4329 +81 ; donc 105 p =
1449+ 27335 p = 4 8 9 + 9 ; p = q
++ 139 +2 , 139+9
fuppofant 13 m ; donc
35 35
339 + 9 = 35 m , 1 3 q = 3 5 m — 9 ,
9 = 2m
9 m -
m
13
J
faifant 99
13
= 13 u , m zu +1 +
4น
9
-
faifant = √ 4 = 9 √ ‚ u :
+ √ , faiſfant√ = ; donc √ 4 ,
& fubftituant par-tout à la place de cette
valeur en rétrogradant , l'on aura √
4u , u = 9u , m = 13 u + 1,9 = 35 n
+ 1 ; p = 48 +3 ; & mettant ces valeurs
de p & de q dans celles de x , y , z ,
l'on aura x 420 × 48. × + 3
× 352 + 2 ~ 378400 + 55 =x
----
336
}
94 MERCURE DE FRANCE.
-
7 = 210 × 45 × + 3 → 105 × 35
1 + 2 + 11 = 6405 + 431 = y
z = 126 × 35 + 1 + 59 = 4410
# + 311 = ~ ,
qui font les trois nombres qu'on a démontrés
dans le Mercure dernier devoir remplir
toutes les conditions du problême.
En fait de fciences exactes & de raiſonnement
, il eſt des fautes heureuſes , & il
eft quelquefois avantageux de tomber dans
des paralogifmes , fur-tout lorfque leur
découverte nous ouvre les fources de l'erreur
, & nous apprend à éviter les routes
fauffes dans lesquelles nous nous étions
engagés ; fouvent l'erreur fert à approfondir
des vérités qu'on n'avoit fait qu'ef
fleurer. Les obfervations qui vont fuivre
ferviront à nous en convaincre.
OBSERVATION S.
1º. Si l'on avoit cherché les valeurs de
x ,y,z en une feule indéterminée par la
huitieme condition , on auroit eu en fuivant
toujours notre méthode ,
x = 58800 S +55 1
y = 45465S + 431
L = 32130 S + 311
qui fatisfait également à tout , mais dont
le premier membre eft feptuple du premiermembre
des nombres ci-devant trouvés ,
JUIN. 17553
95
& qui rendent par conféquent la folution
moins étendue & moins élégante.
2º. On pouvoit réfoudre la huitieme
condition comme un problême particulier,
en faifant +9.25 : 70 , 51 , ce qui
4 3
auroit donné x 280 19 , & z = 153 = tb
+ s , qui ne remplit que cette feule condition
, ce qui fait voir la néceffité d'employer
à la place de x & z qui font les dénominations
qu'on a donné d'abord aux
premier & troifieme détachemens , la néceffité
, dis-je , d'employer leurs valeurs
trouvées en p & q par notre méthode.
3. Si on eût choisi un rapport des
pertes du premier & du fecond détachement
différent de celui de 140 à 61 ; par
exemple , fi on eût fait 2.2
420p - 3369-37 . 2100-105 9 + 11
4
à 4 , on auroit eu
x= 37800+ 6039
y= 88200 + 14116
2 = 13860V + 22193
4 оц
qui ne fatisfont qu'à quelques parties des
conditions du problême , par cette feule
raifon que les valeurs de x , y , z , expriprimées
en p & q , avoient acquis par les
conditions multipliées une relation , pour
ainfi dire , intrinféque , & qu'en leur en
attribuant une nouvelle on dénature les
valeurs de p & de q.
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Résumé : Méthode de solution du problême d'algébre appliqué à la science de la guerre, annoncé dans le Mercure de Mai 1755, page 87, à M. Censeur & Professeur royal ; par M. G. Ecuyer, Officier de Madame la Dauphine, & de la Société Littéraire de Senlis.
Le document expose une méthode de résolution d'un problème d'algèbre appliquée à la science de la guerre, présentée dans le Mercure de Mai 1755 par M. G. Ecuyer. Cette méthode utilise des quotients fictifs pour déterminer des quotients exacts et réels, servant de mesure commune pour les relations mutuelles des inconvénients dans la question. Le problème initial consiste à déterminer le nombre de soldats dans trois détachements en fonction de conditions spécifiques de rangement. Pour le premier détachement, lorsqu'on range les soldats par trois, il en reste deux, et par quatre, il en reste trois. Pour le second détachement, lorsqu'on range les soldats par cinq, il en reste un, et par sept, il en reste quatre. Pour le troisième détachement, lorsqu'on range les soldats par sept, il en reste trois, et par neuf, il en reste cinq. Les conditions sont résolues en utilisant des équations algébriques, aboutissant à des valeurs pour les trois détachements exprimées par des indéterminées différentes. La quatrième condition révèle que les détachements sont en proportion arithmétique continue, permettant de lier les trois problèmes distincts. Les pertes subies par chaque détachement sont également prises en compte, avec des rapports spécifiques entre les pertes des différents détachements. Les valeurs finales des détachements sont calculées pour satisfaire toutes les conditions du problème. Le document conclut en soulignant l'importance des erreurs heureuses et des paralogismes dans l'approfondissement des vérités scientifiques. Il présente également des observations sur les différentes méthodes de résolution et les conséquences de choisir des rapports de pertes différents.
Généré par Mistral AI et susceptible de contenir des erreurs.
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